MacroEconomics

Competitive Equilibrium

Basic Environment

• 商品、时期与状态 (Goods, Periods, States):

  • 经济中仅存在一种实体商品。
  • 时间是离散的，共 $T$ 个时期（$t = 0, 1, \dots, T$，可为无限期 $T \to \infty$）。
  • 未来具有不确定性。在每个时期 $t$，世界可能处于 $S_t$ 个可能的状态（states of the world）之一。一条特定的历史路径 $s^t$ 是从第 0 期到第 $t$ 期的状态序列 $(s_0, s_1, \dots, s_t)$。

• 经济主体与偏好 (Agents and Utility):

  • 经济中有 $N$ 个经济主体（Agents），索引为 $i = 1, 2, \dots, N$。
  • 每个主体的效用由其一生中的消费路径 $c$ 决定。效用函数为期望效用形式： $$ U^i(c) = \mathbb{E}\left[\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t u^i(c_t, s_t)\right] $$ 该式可展开为： $$ U^i(c) = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \sum_{s^t \in S^t} u^i(c_t(s^t), s_t) P(s^t) $$
    • $\beta \in (0,1)$ 为时间贴现因子（discount factor），反映主体的耐心程度。
    • $u^i(\cdot)$ 为主体 $i$ 的即期效用函数（instantaneous utility function）。
    • 效用可能依赖于状态 $s_t$，表明在某些状态下（如生病时），消费的边际效用可能不同。
    • $P(s^t)$ 为历史路径 $s^t$ 发生的概率。

• 禀赋 (Endowments):

  • 主体在时期 $t$、状态 $s_t$ 下获得禀赋 $y^i(s_t)$。
  • 经济在该时点的总禀赋（总产出）为所有个体禀赋之和： $$ \sum_{i=1}^{N} y^i(s_t) = \bar{y}(s_t) $$
  • 禀赋（收入）具有随机性，使主体面临收入风险（income risk），从而产生风险分担（risk sharing）的需求。

The Complete Markets Model

• 核心思想:

  • 由 Gérard Debreu 与 Kenneth Arrow 提出，是宏观经济学与一般均衡理论的基准模型。
  • 其核心思想是：将单一实体商品在不同时间、不同自然状态下的消费视为完全不同的商品。
  • 例如，“今天的一个苹果”与“明天的一个苹果”是不同的商品；“明天晴天时的一个苹果”与“明天雨天时的一个苹果”亦为不同商品。

• Arrow-Debreu Commodities:

  • 这些被区分的商品称为阿罗-德布鲁商品（Arrow-Debreu commodities）或或有消费索取权（contingent consumption claims）。
  • 市场机制：在第 0 期（$t = 0$），主体可交易所有未来时期、所有可能状态下的或有商品。例如，主体可在 $t = 0$ 支付价格 $p_t(s^t)$ 购买一份合约，该合约承诺：当且仅当历史路径 $s^t$ 发生时，持有者获得 1 单位消费品。

• 模型的意义:

  • 通过此方式，一个跨期且充满不确定性的复杂经济问题被转化为一个静态的、无不确定性的一般均衡问题，仅商品种类大幅增加。
  • 该框架为消费理论与资产定价提供了强有力的分析工具，并为宏观模型中的代表性消费者（representative consumer）假设奠定了微观基础。
  • 该理论具有明确的可检验经验含义。例如，Townsend (1994) 的著名论文《Risk and Insurance in Village India》即对此模型进行了实证检验。

Consumers’ Problem, Equilibrium and Risk Sharing

The Consumers' Problem

在完全市场假设下，每个消费者 $i$ 在 $t = 0$ 时选择其一生的消费计划 $c^i = \{c_t^i(s^t)\}_{t,s^t}$，以最大化其终生效用：

$$ \max_{\{c_t(s^t)\}} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \sum_{s^t} P(s^t) u_i(c_t(s^t), s_t) $$

约束条件为其一生中所有或有消费的总支出不超过其总禀赋的现值。这是一个单一的跨期预算约束（a single lifetime budget constraint）：

$$ \text{s.t.} \quad \sum_{t=0}^{\infty} \sum_{s^t} p_t(s^t) c_t^i(s^t) \le \sum_{t=0}^{\infty} \sum_{s^t} p_t(s^t) y_t^i(s^t) $$

• 左侧为总支出，右侧为总财富（Wealth），记为 $W_i$。
• $p_t(s^t)$ 为在 $t = 0$ 时购买“当历史为 $s^t$ 时获得一单位商品”这一索取权的价格。
• 关键点：消费者仅面临一个预算约束，而非每个时期或每个状态各有一个。

First-Order Condition

对上述问题应用拉格朗日乘数法，设乘子为 $\lambda_i$，可得关于消费 $c_t^i(s^t)$ 的一阶条件（FOC）：

$$ \beta^t P(s^t) u_i'(c_t^i(s^t), s_t) = \lambda_i p_t(s^t) \quad \forall t, s^t $$

• 经济学含义：在最优选择下，在状态 $s^t$ 下额外消费一单位商品的边际效用（经概率与时间贴现调整后）必须与其价格成正比。
• $\lambda_i$ 为财富的边际效用（marginal utility of wealth），对给定消费者 $i$ 为常数。
• 一个重要推论是：消费者的最优消费计划仅取决于其总财富 $W_i$，而与其禀赋在不同时间与状态下的具体分布无关。

Consumption Behavior and Risk Sharing

考虑任意两个消费者 $i$ 与 $j$。其一阶条件分别为： $$ \beta^t P(s^t) u_i'(c_t^i(s^t)) = \lambda_i p_t(s^t) $$ $$ \beta^t P(s^t) u_j'(c_t^j(s^t)) = \lambda_j p_t(s^t) $$ （此处为简化，假设效用不显式依赖于状态 $s_t$）

将两式相除，可消去价格 $p_t(s^t)$、概率 $P(s^t)$ 与贴现因子 $\beta^t$，得到如下结果： $$ \frac{u_j'(c_t^j(s^t))}{u_i'(c_t^i(s^t))} = \frac{\lambda_j}{\lambda_i} = \text{Constant} $$

• 结论：任意两个消费者之间的边际效用之比，在所有时间 $t$ 与所有状态 $s^t$ 下均为常数。
• 完美风险分担（Perfect Risk Sharing）：该结果意味着个体消费随总资源同向变动（comovement）。当经济总体资源充裕时，所有人的消费均增加；当资源稀缺时，所有人的消费均减少。个体特异性冲击（idiosyncratic shocks）被市场完全分散。
• 个人消费与总体收入：可进一步推导出，每个人的消费 $c_t^i(s^t)$ 是总体收入 $Y_t(s^t)$ 的函数，其份额由相对财富（由 $\lambda$ 之比决定）确定： $$ c_t^i(s^t) = \phi_i(\lambda_1, \dots, \lambda_N, Y_t(s^t)) $$

Welfare Theorems and Social Planner

竞争性均衡与帕累托最优

• 竞争性均衡（Competitive Equilibrium）的定义包含两个部分：

  1. 最优化（Optimization）：给定价格体系 $p$，所有消费者的消费计划 $c$ 均为其效用最大化问题的解。
  2. 市场出清（Market Clearing）：在每一时期 $t$ 与每一状态 $s^t$，消费品市场的总需求等于总供给： $$ \sum_i c_t^i(s^t) = \sum_i y_t^i(s^t) = Y_t(s^t) \quad \forall t, s^t $$

• 帕累托最优（Pareto Optimality）的定义：一个资源配置是帕累托最优的，若不存在另一种可行配置，能在不损害任何其他人福利的前提下，使至少一人的福利得到改善。

• 福利经济学基本定理（Fundamental Theorems of Welfare Economics）：

  1. 第一定理：任何竞争性均衡的配置均为帕累托最优。
  2. 第二定理：任何帕累托最优配置均可通过适当的初始禀赋再分配（转移支付），作为某一竞争性均衡实现。

The Social Planner's Problem

为刻画所有帕累托最优配置，可构建一个虚拟的“社会计划者”问题。该计划者直接为每位个体分配消费，目标是最大化加权社会福利，约束为资源可行性：

$$ \begin{aligned} \max \; & \sum_{i=1}^{I} \mu_i U^i(c^i) \\ \text{s.t. } & \sum_{i=1}^I c_t^i(s^t) = Y_t(s^t) \quad \forall t, s^t \end{aligned} $$

• $\mu_i \ge 0$ 为帕累托权重（Pareto weights），反映社会计划者对不同个体福利的重视程度。通过调整 $\{\mu_i\}$，可生成所有帕累托最优配置。

• 社会计划者问题的一阶条件： $$ \mu_i \beta^t P(s^t) u_i'(c_t^i(s^t)) = \gamma(s^t) $$ 其中 $\gamma(s^t)$ 为资源约束的拉格朗日乘子，表示在状态 $s^t$ 下额外一单位资源的社会价值。

均衡与最优的等价性

对比消费者问题与社会计划者问题的一阶条件：

• 消费者 FOC: $$ \beta^t P(s^t) u_i'(c_t^i(s^t)) = \lambda_i p_t(s^t) $$
• 计划者 FOC: $$ \mu_i \beta^t P(s^t) u_i'(c_t^i(s^t)) = \gamma(s^t) $$

二者存在深刻联系：

• $\dfrac{1}{\mu_i} \propto \lambda_i$（帕累托权重的倒数正比于财富的边际效用）
• $p_t(s^t) \propto \gamma(s^t)$（均衡价格正比于资源的社会价值）

这揭示了市场价格机制（“看不见的手”）如何引导自利个体的选择，实现社会最优资源配置。

Aggregation: The Representative Household

Aggregation

核心问题：宏观经济总量行为（如总消费、总投资）是否可由一个“代表性消费者”的行为描述？

• 代表性消费者存在性：完全市场结论（尤其是福利定理）为代表性消费者的存在提供了理论基础。可定义一个社会总效用函数 $V$，使得竞争性均衡配置 $(c, p)$ 亦为一个拥有效用函数 $V$ 的单一主体经济的均衡解。 $$ V\left(\left[c\left(s^t\right)\right]_t\right)=\max \left\{\sum_{i=1}^I \mu_i {U}^i(c) \; \text { s.t. } \sum_{i=1}^I c^i\left(s^t\right)=y\left(s^t\right) \text { for all } s^t\right\} $$
• Gorman Aggregation：
  • 通常，社会总效用函数 $V$ 的形式依赖于初始财富分配（即帕累托权重 $\mu_i$）。
  • 戈尔曼汇总定理给出总需求与收入分配无关的充要条件：所有消费者的间接效用函数具有戈尔曼形式（Gorman Form）： $$ v^i(p, w^i) = a^i(p) + b(p)w^i $$ 此时，个体需求对财富 $w^i$ 呈线性，总需求仅依赖于总财富 $W = \sum w^i$。
  • 对数效用（Log Utility）是满足戈尔曼形式的特例。在此情形下，均衡价格仅依赖于总量基本面（总禀赋、概率等），而与个体间禀赋分配无关。

模型的实证含义 (Testable Restrictions)

完全市场模型给出若干强预测，可在现实数据中检验：

1. 个人收入无关性：在控制总体收入（aggregate income）后，个体消费不应再与其当期个人收入相关。个体收入冲击应通过市场被完全平滑。
2. 消费的完美共动（Perfect Comovement）：不同个体的消费增长率应高度相关。
3. 消费分布的恒定性：个体间消费水平的离散程度（如方差）应随时间保持不变。

这些预测在现实中常不成立，表明现实市场是不完全的（incomplete），从而推动了后续宏观经济学的重要研究。

Sequential Trading

序贯交易 (Sequential Trading) 与阿罗证券 (Arrow Securities)

Arrow-Debreu 模型假设所有交易在 $t = 0$ 完成，现实中不可行。更现实的替代是序贯交易。

• 市场结构：在每个时期 $t$ 的每个状态 $s^t$，开放两类市场：
  1. 现货市场（Spot Market）：交易当期消费品。
  2. 短期债券市场（One-period Bonds Market）：交易阿罗证券（Arrow securities）。
• 阿罗证券：一份在 $s^t$ 购买的阿罗证券，承诺在下一期 $t+1$ 的特定状态 $s_{t+1}$ 发生时支付 1 单位商品，其他状态支付 0。其在 $s^t$ 的价格为 $q(s_{t+1} \mid s^t)$。
• 等价性：若存在完备的阿罗证券（即覆盖未来所有可能状态），则序贯交易市场的最终资源配置与 Arrow-Debreu 完全市场等价（equivalent），显著提升了模型的现实性。

资产定价基础

• 阿罗证券价格与随机折现因子（SDF）：

  • 由消费者的跨期优化问题（欧拉方程）可推导阿罗证券价格： $$ q(s_{t+1} \mid s^t) = \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} P(s_{t+1} \mid s^t) $$

  • 由此引出宏观与金融学核心概念：随机折现因子（Stochastic Discount Factor, SDF），亦称定价核（pricing kernel）： $$ m_{t+1} = \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} $$

• 基本资产定价方程：对任意资产 $i$（$t$ 期价格为 $Q_t^i$，$t+1$ 期回报为 $R_{t+1}^i$），其价格满足： $$ 1 = \mathbb{E}_t[m_{t+1} R_{t+1}^i] $$ 含义：资产的期望回报经 SDF 调整后必须等于 1。资产回报在消费者边际效用高（消费低，SDF 高）时价值更高，在边际效用低（消费高，SDF 低）时价值更低。

• 风险溢价：风险资产的期望回报高于无风险利率，因其回报与 SDF 负相关。即，风险资产通常在经济好（消费高，SDF 低）时回报高，在经济差（消费低，SDF 高）时回报低。为激励持有此类“顺周期”资产，需提供风险溢价： $$ \mathbb{E}_t[R_{t+1}^i] - R_{t+1}^f = -\frac{\text{Cov}_t(m_{t+1}, R_{t+1}^i)}{\mathbb{E}_t[m_{t+1}]} $$

权益溢价之谜 (The Equity Premium Puzzle)

这是将上述理论应用于现实数据时发现的著名难题。

• 模型设定：
  • 假设效用函数为 CRRA（Constant Relative Risk Aversion）形式：$u(c) = \frac{c^{1-\theta}}{1-\theta}$，其中 $\theta$ 为相对风险规避系数。
  • SDF 变为：$m_{t+1} = \beta \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\theta}$。
  • 资产回报与消费增长率服从对数正态分布。
• 理论预测：股票的期望超额回报（权益溢价）可近似表示为： $$ \ln \mathbb{E}[R_e] - r_f \approx \theta \cdot \text{Cov}(\Delta \ln C, \Delta \ln R_e) $$ 简化后为： $$ \text{Equity Premium} \approx \theta \cdot \rho_{c,e} \cdot \sigma_c \cdot \sigma_e $$
• 数据与矛盾：
  • 基于美国百年数据，观察到：
    • 权益溢价约 6%；
    • 消费增长率标准差 $\sigma_c$ 很低（约 1–2%）；
    • 股票回报与消费增长率相关性 $\rho_{c,e}$ 不高。
  • 代入公式，为解释 6% 的权益溢价，需 $\theta$ 高达 27 甚至更高。
• “谜”之所在：绝大多数经济学家认为，$\theta > 10$ 在现实中“高度不可信”（highly implausible），因其意味着个体愿为规避微小风险而放弃巨大确定性收益。
• 结论：标准的、以消费为基础的资产定价模型无法在合理参数下解释美国历史上的高额权益溢价，此即著名的权益溢价之谜。该谜题激发了行为金融学及对偏好结构（如习惯形成、递归效用）的大量后续研究。

Neoclassical Growth Model

经济学的核心问题之一是：为什么有些国家比其他国家富裕得多？ 为了回答这个问题，我们需要理论和数据的结合。

索洛模型 (Solow Model)

索洛模型是新古典增长理论的基石，它解释了一个经济体如何通过资本积累实现增长。

核心假设:

• 经济中只生产一种同质产品，可用于消费或投资。
• 封闭经济，没有国际贸易。
• 人们将其收入的一个固定比例 $ s $ 用于储蓄，模型不解释储蓄行为本身。
• 人口以恒定的外生速率 n 增长。
• 技术水平以恒定的外生速率增长（为简化起见，在模型初期假设技术水平固定）。

模型由两个核心方程构成：

• (i) 生产函数 (Production Function)
• (ii) 资本积累方程 (Capital Accumulation)

(i) 生产函数: 描述投入（资本 $K$ 和劳动 $L$）如何转化为产出（$Y$）： $$ Y_t = F(K_t, L_t) $$

该生产函数具有以下特性：

• 规模报酬不变 (Constant Returns to Scale)： $$ F(\lambda K, \lambda L) = \lambda F(K, L), \quad \forall \lambda > 0 $$ 这个特性在完全竞争市场下意味着不存在超额利润（租金）。

• 边际报酬为正且递减 (Positive and Diminishing Marginal Returns)： $$ F_K > 0, F_{KK} < 0, \quad F_L > 0, F_{LL} < 0 $$ 这意味着增加一单位的资本或劳动所带来的产出增量是递减的。

• 稻田条件 (Inada Conditions)： $$ \begin{gathered} \lim_{K\to0} F_K = \infty, \quad \lim_{K\to\infty} F_K = 0 \\ \lim_{L\to0} F_L = \infty, \quad \lim_{L\to\infty} F_L = 0 \end{gathered} $$ 这些条件确保了稳态的存在性和唯一性。

一个典型的新古典生产函数是柯布-道格拉斯 (Cobb-Douglas) 生产函数： $$ Y = K^\alpha L^{1-\alpha}, \quad 0 < \alpha < 1 $$

(ii) 资本积累方程: 资本存量的变化（$\dot{K}_t$）等于总投资（$I_t$）减去资本折旧（$ \delta K_t $）： $$ \dot{K}_t = I_t - \delta K_t $$ 其中，$\dot{K}_t$ 是资本存量随时间的变化率，$I_t$ 是总投资，$\delta$ 是折旧率。

在封闭经济中，投资等于储蓄（$I_t = S_t$），而储蓄是产出的一个固定比例（$S_t = sY_t$）。因此，我们得到： $$ \dot{K}_t = sF(K_t, L_t) - \delta K_t $$

人均形式的模型 (Per Capita Terms)

为了分析人均产出和生活水平，我们将模型转换为人均形式。定义人均资本 $ k_t = K_t / L_t $，人均产出 $ y_t = Y_t / L_t $。

由于生产函数是规模报酬不变的，我们可以将其写为人均形式 $$ y_t = \frac{F(K_t, L_t)}{L_t} = F(K_t/L_t, 1) \equiv f(k_t) $$ 根据求导法则： $$ \dot{k}_t=\frac{\dot{K}_t}{L_t}-\frac{K_t}{L_t} \cdot \frac{\dot{L}_t}{L_t} $$ 注意到 $\dfrac{\dot{L}_t}{L_t}=n$，于是得到人均资本积累的核心动态方程：
$$ \dot{k}_t = s f(k_t) - (\delta + n) k_t $$ 这个方程的每个部分都有清晰的经济学含义：

• $\dot{k}_t$ ：人均资本的净增长。这是我们关心的核心变量，代表了每个工人资本存量的净变化。
• $s f\left(k_t\right)$ ：实际人均投资。 $f\left(k_t\right)$ 是人均产出 $y_t$ ，而 $ s $ 是储蓄率。因此这一项代表了新产生的人均储蓄（或投资），这是增加人均资本的唯一来源。
• $(\delta+n) k_t$ ：＂收支平衡＂投资（Break-even Investment）。这是为了维持现有的人均资本水平不变所需要的投资量。它由两部分组成；
  • $ \delta k_t $ ：资本折旧。为了弥补每个工人现有资本 $k_t$ 的损耗，需要进行的重置投资。
  • $ n k_t $ ：资本广化（Capital Widening）。由于劳动力以 $n$ 的速度增长，新加入的工人需要配备与现有工人相同水平的资本 $k_t$ ，才能使人均资本水平不下降。这部分投资就是为新工人提供资本。

稳态 (Steady State)

稳态是经济长期均衡的状态，此时人均资本 $ k $ 和人均产出 $ y $ 保持不变，即 $\dot{k}_t = 0$。

• 稳态的条件：
  $$ s f(k^\ast) = (\delta + n) k^\ast $$ 在图形上，它是储蓄曲线 $ s \cdot f(k) $ 和持平投资直线 $ (\delta + n) k $ 的交点。

• 稳定性：索洛模型的稳态是全局稳定的。无论初始人均资本是多少（$ k_0 > 0 $），经济最终都会收敛到稳态水平 $ k^\ast $。

  • 若 $ k < k^\ast $，则投资大于持平投资，$ k $ 增加。
  • 若 $k > k^\ast$，则投资小于持平投资，$ k $ 减少。

在稳态下，人均变量虽然不增长了，但总量（总资本 K、总产出 Y、总消费 C）仍然在以人口增长率 n 的速度增长，因为经济体中的人口在不断增加。

比较静态分析 (Comparative Statics)

• 储蓄率 ($ s $)：更高的储蓄率 ($ \uparrow s $) 会导致更高的稳态人均资本和产出 ($ \uparrow k^\ast, \uparrow y^\ast $)。
• 人口增长率 ($n$)：更高的人口增长率 ($ \uparrow n $) 会稀释资本，导致更低的稳态人均资本和产出 ($ \downarrow k^\ast, \downarrow y^\ast $)。

黄金律 (The Golden Rule)

索洛模型中的储蓄率是外生的，但我们可以问：是否存在一个“最优”的储蓄率，能够最大化稳态时的人均消费？

• 稳态消费：
  $$ c^\ast = y^\ast - s \cdot y^\ast = f(k^\ast) - (\delta + n) k^\ast $$

• 黄金律资本水平 ($ k_{\text{gold}}^\ast $)：最大化 $c^\ast$ 的资本水平，其条件是：
  $$ f_k(k_{\text{gold}}^\ast(s)) = n + \delta $$ 即资本的边际产出等于人口增长率与折旧率之和。

• 动态无效率 (Dynamic Inefficiency)：如果一个经济体的储蓄率过高，使得 $ k^\ast > k_{\text{gold}}^\ast $，那么它就处于动态无效率状态。此时，只需降低储蓄率，就可以在不牺牲未来消费的情况下，提高当前和未来的所有消费水平。

过渡动态与趋同 (Transitional Dynamics and Convergence)

• 核心思想：经济增长发生在向稳态过渡的过程中。一个经济体离其稳态越远，其增长速度越快。

• 趋同假说 (Convergence Hypothesis)：

  • 绝对趋同 (Absolute Convergence)：所有国家无论初始条件如何，最终都会收敛到相同的人均收入水平。这要求所有国家有相同的 $ s, n, \delta $ 等参数，现实中不太可能。
  • 条件趋同 (Conditional Convergence)：具有相似结构特征（相同的 $ s, n, \delta $）的国家会收敛到相同的稳态。这意味着，在控制了这些因素后，初始人均收入较低的国家应该比初始人均收入较高的国家增长得更快。经验证据普遍支持条件趋同。

• 趋同速度 ($ \beta $)：模型预测经济体弥合其与稳态之间差距的速度。理论上，趋同速度由
  $$ \beta = (1 - \alpha)(n + \delta + \dots) $$ 决定。

  • 经验难题：根据标准的资本份额（$ \alpha \approx 1/3 $）校准出的理论趋同速度（半衰期约13年），比实证研究中观察到的速度（半衰期约35年）要快得多。
  • 可能的解释：Mankiw, Romer, Weil (1992) 提出，将人力资本也视为一种资本，可以使广义的资本份额（$\alpha$）提高到0.75左右，从而大大降低理论预测的趋同速度，使其与经验证据更为吻合。

AK模型 (The AK Model)

AK模型是内生增长理论 (Endogenous Growth Theory) 的一个简单形式，它对索洛模型的核心假设——资本边际报酬递减——提出了挑战。

1. 模型设定:

• 生产函数不存在报酬递减：
  $$ Y = A K $$ 其中 $ A $ 是一个正的常数，代表技术水平。这可以看作是索洛模型中资本份额 $ \alpha = 1 $ 的特例。

• 人均形式为：
  $$ y = A k $$

• 人均资本积累方程：
  $$ \dot{k}_t = s A k_t - (\delta + n) k_t = (s A - (\delta + n)) k_t $$

2. 核心结论:

• 长期增长：只要储蓄和技术水平足够高，使得 $ s A > n + \delta $，经济就可以实现持续的、内生的正增长。增长率 $ \gamma_k = s A - (n + \delta) $。
• 政策有效性：储蓄率 $ s $ 等行为参数和政策变量会影响长期增长率，而不仅仅是稳态水平。
• 无趋同：模型不预测国家间的趋同。富国和穷国可以以不同的速度永久增长。

AK模型为解释国家间持续的增长率差异提供了一个简单框架，但其“资本无报酬递减”的假设过于极端，后续的内生增长模型（如涉及人力资本外部性或研发的模型）为此提供了更丰富的微观基础。

拉姆齐模型 (The Ramsey Model)

拉姆齐模型（或Ramsey-Cass-Koopmans模型）是新古典增长模型的另一个核心，它通过引入跨期效用最大化的家庭来内生化储蓄决策，从而克服了索洛模型中储蓄率外生的缺陷。

模型设定:

• 行为主体：

  • 无限期存活的家庭 (Infinitely-lived Households)：代表一个王朝，关心后代福祉，通过跨期优化来决定消费和储蓄路径。
  • 利润最大化的厂商 (Profit-maximizing Firms)：与索洛模型类似，在竞争性市场中租用资本和劳动。

• 家庭的目标： 最大化其终身贴现效用：
  $$ \max \int_0^\infty u(c_t) e^{-(\rho - n)t} \, dt $$ 其中，$ c_t $ 是人均消费，$ \rho $ 是时间偏好率（越 impatient，$ \rho $ 越大），$ n $ 是人口增长率。

• 家庭的预算约束： 人均资产（$a_t$）的变化等于资产回报减去消费：
  $$ \dot{a}_t = (r_t - n) a_t + w_t - c_t $$

欧拉方程 (Euler Equation)

通过求解家庭的最优化问题，我们得到描述最优消费路径的动态方程——欧拉方程： $$ \frac{\dot{c}_t}{c_t} = \frac{1}{\sigma}(r_t - \rho) $$

其中：

• $ \sigma = -\dfrac{u_{cc}(c) c}{u_c(c)} $ 是 跨期替代弹性 (Intertemporal Elasticity of Substitution, IES) 的倒数，衡量了消费的平滑偏好。$\sigma$ 越大，家庭越不愿消费路径波动。
• $ r_t $ 是真实利率。
• $ \rho $ 是主观贴现率。

经济学直觉：

• 如果市场利率 $ r_t $ 高于家庭的主观贴现率 $ \rho $，推迟消费并储蓄是值得的，因此家庭会选择一个消费不断增长的路径（$ \dot{c}_t > 0 $）。
• 利率与贴现率的差距对消费增长的影响程度，取决于 $ \sigma $。$ \sigma $ 越大，家庭越厌恶消费波动，即使利率很高，他们也只会温和地增加消费增长。

模型的动态系统与稳态

将家庭的欧拉方程与厂商的利润最大化条件（$ r_t = f_k(k_t) - \delta $）以及资源约束（资本积累方程）结合，可以得到一个关于人均资本（$ \hat{k} $）和人均消费（$ \hat{c} $）的二维动态系统。

• 稳态：在稳态中，$ \dot{\hat{k}} = 0 $ 且 $ \dot{\hat{c}} = 0 $。

• 修正的黄金律 (Modified Golden Rule)：从 $ \dot{\hat{c}} = 0 $ 可以推导出稳态的条件：
  $$ f_k(\hat{k}^\ast) = \delta + \rho + \sigma x $$ 其中 $x$ 是技术进步率。

  直觉：稳态时，资本的净边际产出必须等于家庭的“有效贴现率”。这个贴现率包括了对未来的不耐烦（$ \rho $）和对消费增长的平滑渴望（$ \sigma x $）。

• 无动态无效率：在拉姆齐模型中，由于家庭进行最优决策，并且存在一个“横截性条件”（Transversality Condition, TVC）防止过度储蓄，经济永远不会处于动态无效率状态。稳态资本水平总是小于或等于黄金律水平。

过渡动态：鞍点路径 (Saddle Path Stability)

拉姆齐模型的动态系统具有鞍点稳定性。对于任何给定的初始资本存量 $ \hat{k}_0 $，只存在唯一一个初始消费水平 $ \hat{c}_0 $，能够使经济恰好沿着稳定的“鞍点路径”收敛到长期稳态。

• 如果初始消费过高，资本会被过快消耗，最终归零。
• 如果初始消费过低，家庭会过度储蓄，违反横截性条件。

储蓄率的动态:**

在向稳态过渡的过程中，储蓄率的行为是不确定的。它取决于替代效应和收入效应的相对强弱。

• 替代效应：当经济体贫穷时（$ k $ 较低），资本回报率高，储蓄的吸引力大，倾向于多储蓄。
• 收入效应：当经济体贫穷时，人们更渴望立即消费，倾向于少储蓄。

校准结果表明，对于像美国这样的经济体，模型预测在接近稳态的过程中，储蓄率会下降。

Growth and Development Accounting

这是一个经验性的框架，用于量化不同因素对经济增长和收入差异的贡献。

1. 增长核算 (Growth Accounting)

将一个国家一段时间内的产出增长率分解为生产要素（资本、劳动）增长和技术进步的贡献： $$ \gamma_Y = \gamma_A + \alpha \gamma_K + (1 - \alpha) \gamma_L $$

• $ \gamma_A $，即全要素生产率 (Total Factor Productivity, TFP) 的增长率，通常被称为“索洛剩余”。它是一个“残差项”，捕捉了所有不能由资本和劳动投入增长解释的产出增长。
• TFP的来源包括技术进步、效率改善、制度优化等。
• 早期研究发现TFP贡献了增长的70%，被称为“我们无知的量度”。在对劳动（如教育）和资本（如设备质量）的质量进行调整后，TFP的贡献下降到1/3至1/2，但仍然至关重要。

2. 发展核算 (Development Accounting)

将不同国家在某个时间点的人均收入差异分解为要素投入（人均资本、人力资本）差异和TFP差异： $$ \log Y_i = \log A_i + \alpha \log K_i + \dots $$

• 研究发现，TFP（$ A_i $）的差异解释了国家间人均收入差异的50%以上。
• 资源错配 (Resource Misallocation)，即资本和劳动力没有被配置到生产率最高的企业或部门，被认为是解释国家间TFP差异的一个重要原因。金融市场不发达、劳动力市场管制等都可能导致资源错配。

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总结

• 索洛模型提供了一个基本的框架，说明了资本积累和技术进步在经济增长中的作用，并引出了重要的条件趋同假说。但其储蓄率外生的假设是一大缺陷。
• AK模型作为内生增长理论的开端，展示了在没有资本报酬递减的情况下，储蓄和政策如何影响长期增长率。
• 拉姆齐模型通过内生化储蓄决策，提供了更为完善的微观基础，其鞍点路径稳定性是现代宏观动态分析的核心工具。
• 增长/发展核算为我们提供了量化分析增长和收入差距来源的工具，并指出了TFP和资源配置效率的关键作用。

Incomplete Market

核心框架：The Lifecycle Model

基本概念： 这是一个灵活的分析框架，而非单一模型。其核心特征在于消费者面临收入风险，且无法完全通过保险市场规避这些风险（即市场是不完全的），只能通过无风险资产（储蓄/借贷）进行跨期平滑。

主要构成要素：

• 时间 (T): 有限期 (Finite) 或 无限期 (Infinite, $\infty$)。
• 收入流 ($y_t$): 劳动收入是随机的 (Risky)，随时间变化。
• 决策: 每期在消费 ($ c_t $) 和储蓄 ($a_{t+1}$) 之间做决定。
• 市场结构:
  • 完全市场 (Complete Markets): 存在 Arrow Security，可以针对每一种特定的未来状态买卖保险。
  • 不完全市场 (Incomplete Markets): 只能交易一种单一资产（如债券），其回报与未来状态无关（pays off one unit in every state）。

消费者问题与欧拉方程

2.1 预算约束 (Budget Constraint)

在不完全市场下，消费者只能通过无风险债券进行跨期资源配置。 令 $q_t(s^t) = \frac{1}{1+r_t(s^t)}$ 为债券价格，流量预算约束为： $$ c(s^t) + q_t(s^t)a_{t+1}(s^t) = y(s^t) + a_t(s^t) $$ 其中 $s^t$ 表示截止到 $t$ 期的历史状态，$a_{t+1}$ 是持有的资产，$y(s^t)$ 是禀赋。

手头现金 (Cash on hand): 定义 $x \equiv y + a$。 下一期的手头现金演变为：$x'(x, s') = y(s') + a'(x, s)$。

2.2 欧拉方程 (Euler Equation)

通过最大化效用函数 $U^i(c) = E \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t u(c_t)$，得到核心的一阶条件： $$ u'(c_t) = \beta (1+r_t) E_t [u'(c_{t+1})] $$ 或者引入随机折现因子 (Stochastic Discount Factor)： $$ 1 = E_t \left[ \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} R_t \right] $$ 注意：在不完全市场中，个人的边际效用替代率（随机折现因子）在个体之间并不相等，因为无法通过交易分担所有的特殊风险（Idiosyncratic Risk）。

3. 几个重要的基准模型 (Benchmarks)

3.1 永久收入假说 (Permanent Income Hypothesis, PIH)

• 假设: 没有收入不确定性 (Perfect foresight) 或者 效用函数为二次型 (Quadratic Utility)。
• 结论: 消费取决于总财富的年金价值 (Annuity value of Total Wealth)。 $$ Total \ Wealth = Financial \ Wealth (a_t) + Human \ Wealth (NPV \ of \ future \ income) $$ 如果 $\beta R = 1$，消费者会完全平滑消费：$c_t = c_{t+1} = \bar{c}$。
• 储蓄行为: “未雨绸缪”。如果当前收入高于永久收入 ($y_t > Y_t^P$)，则储蓄；反之则借款。

3.2 确定性等价 (Certainty Equivalence, CEQ)

• 假设: 收入是随机的，但效用函数是二次型 $u(c) = c - \frac{1}{2}bc^2$。
• 性质: $u'(c) = 1-bc$ 是线性的，$u'''(c) = 0$ (无“审慎” Prudence)。
• 结果 (Hall, 1978): 消费遵循随机游走 (Random Walk)。 $$c_{t+1} = c_t + u_{t+1}$$ 只有意料之外的收入冲击才会改变消费。

边际消费倾向 (MPC) 分析: 假设收入过程包含永久成分 ($y^P$) 和暂时成分 ($u_t$)： $$y_t = y_t^P + u_t, \quad y_t^P = y_{t-1}^P + \varepsilon_t$$

• 对永久冲击 ($\varepsilon_t$) 的 MPC: 接近 1。永久收入改变 1 单位，消费随之改变 1 单位。
• 对暂时冲击 ($u_t$) 的 MPC: 很小 ($\approx \frac{r}{1+r}$)。暂时多赚 1 块钱，只会把它的利息花掉，本金存起来。

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4. 预防性储蓄 (Precautionary Savings)

当放宽二次型效用的假设，引入更符合现实的偏好（如 CRRA 或 CARA）时，情况发生变化。

4.1 审慎 (Prudence)

• 定义: 效用函数的三阶导数大于零，即 $u'''(c) > 0$ (Kimball, 1990)。
• 直觉: 边际效用 $u'(c)$ 是凸函数 (Convex)。根据 Jensen 不等式： $$E[u'(c_{t+1})] > u'(E[c_{t+1}])$$ 这意味着未来的风险（消费的波动）会提高预期的未来边际效用。
• 行为影响: 为了应对未来的不确定性，消费者在今天会减少消费，增加储蓄。这种额外的储蓄被称为“预防性储蓄”。

4.2 CARA 模型 (解析解案例)

假设 $u(c) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma c}$ (恒定绝对风险厌恶) 且收入冲击服从正态分布。 欧拉方程推导出的消费函数为： $$c_t^{CARA} = \underbrace{\frac{r}{1+r}a_t + y_t^P + \frac{r}{1+r}u_t}_{CEQ \ (Base \ Level)} - \underbrace{\frac{\gamma}{r} \left( \sigma_\varepsilon^2 + (\frac{r}{1+r})^2 \sigma_u^2 \right)}_{Precautionary \ Savings}$$

• 结论: 消费水平比 CEQ 模型下一个常数项（由风险方差 $\sigma^2$ 和风险厌恶系数 $\gamma$ 决定）。风险越大，消费越低，储蓄越高。
• 资产积累 $a_t$ 会包含一个正向的漂移项 (Drift)，导致资产随时间无限发散（如果没有其他约束）。

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5. 借贷约束 (Borrowing Constraints)

在不完全市场中，借贷能力通常受限。

Natural Borrowing Limit, NBL

定义: 为了保证在任何情况下都能偿还债务，借款不能超过未来所有可能收入流的最低现值。 $$ \text{ 最大负债 } = \sum_{j=0}^\infty \left( \frac{1}{1+r} \right)^j y_{\min} = \frac{1+r}{r}y_{\min} $$ 公式: $a_t \ge - \frac{1+r}{r} y_{min}$。

性质: 只要满足 Inada 条件 ($c \to 0$ 时 $u' \to \infty$)，NBL 永远不会由紧约束变成“无法偿还”，它是一个理论上的偿付底线。

因为其 never binding 的特性，让我们可以用处理无约束优化问题的简单方法来处理复杂的跨期消费决策。

5.2 人为/外生借贷约束 (Ad-hoc Constraints)

通常形式为 $a_t \ge -\phi$ (其中 $\phi < \frac{1+r}{r} y_{min}$)。 此时欧拉方程变为不等式： $$ u'(c_t) \ge \beta R E_t [u'(c_{t+1})] $$

• 未绑定 (Not binding): 等式成立，行为类似 PIH/预防性储蓄。
• 绑定 (Binding): $u'(c_t) > \beta R E_t [u'(c_{t+1})]$。消费者想借钱借不到，被迫减少消费。此时 $ c_t $ 对当前收入非常敏感 (高 MPC)。

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6. 缓冲库存模型 (Buffer Stock Model)

由 Chris Carroll 提出，结合了预防性储蓄和不耐 (Impatience)。

• 条件: 消费者足够“不耐”，即 $\rho > r$ (时间偏好率 > 利率)，这通常会导致借款；但同时存在收入风险和审慎动机 ($u''' > 0$)，这会导致储蓄。
• 机制:
  1. 当资产非常低时，对未来的恐惧（怕收入为0）占主导，预防性储蓄动机极强，MPC 很低（努力存钱）。(修正：课件中 Slide 34 指出穷人 MPC 高，这里需结合 Slide 33 理解：在 Buffer Stock 目标水平之下，消费增长率高，意味着当前消费相对未来被压低以进行积累，但在极低财富下，任何额外收入会直接用于缓解紧迫的约束，导致高 MPC。通常理解为：穷人手头紧，给一笔钱马上花掉；富人无所谓，平滑掉。)
  2. 当资产非常高时，预防性动机减弱，不耐占主导，资产会下降。
• 结果: 存在一个目标财富水平 (Target Wealth / Buffer Stock Level)。
  • 富人 (Rich): 行为类似 PIH，MPC 较低，消费平滑。
  • 穷人 (Poor): 受到类似借贷约束的影响，MPC 较高，消费随收入波动。

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7. 一般均衡与 Aiyagari 模型

从微观个体行为推导宏观经济含义。

7.1 资产分布与总资本供给

• 由于每个人的收入冲击历史不同，经济中会形成一个财富分布 (Distribution of Assets)。
• 个人为了预防风险会积累资产。总资本供给 $A(r) = \int a dF(a;r)$ 是利率 $r$ 的增函数。

7.2 均衡利率

• 资本需求: $r + \delta = \alpha k^{-(1-\alpha)}$ (向下倾斜)。
• 均衡: 资本供给曲线与资本需求曲线的交点。
• 重要结论: 由于存在不可保的异质性风险 (Uninsurable Idiosyncratic Risk)，预防性储蓄导致总储蓄增加。
  • 利率更低: $r_{Incomplete} < r_{Complete} = \rho$。
  • 资本过度积累 (Over-accumulation of capital): 与完全市场相比，不完全市场模型预测稳态资本存量更高。

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8. 总结与实证

• 风险分担 (Risk Sharing):
  • 完全市场：消费与总收入 (Aggregate Income) 挂钩，与个人收入无关。
  • 不完全市场：消费与个人永久收入挂钩，自我保险 (Self-insurance)。
• MPC 异质性: 实证研究（如 2008 年经济刺激支票的研究）支持了模型预测：低流动性/低收入家庭具有显著更高的 MPC。这对于财政政策的制定（针对谁发钱效果最好）具有重要意义。

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核心公式速查:

1. Euler Equation (Standard): $u'(c_t) = \beta R E_t[u'(c_{t+1})]$
2. CEQ Consumption Change: $\Delta c_t = \frac{r}{1+r} (\text{Change in Expected Permanent Income})$
3. MPC (CEQ): Permanent shock $\to 1$; Transitory shock $\to \frac{r}{1+r}$.
4. Prudence: $u'''(c) > 0 \implies$ Precautionary Savings.