以一个采购问题(procurement problem)为例来说明 screening 的设计。
经常我们能看到“卖方 screen 买方”的例子，实际上“买方 screen 卖方”在公共经济学和产业组织领域有应用。如：
- 像苹果这样的公司（买方）需要从富士康（卖方）采购零部件。富士康的生产效率和成本是其私人信息。苹果设计的采购合同就需要考虑到这一点，以激励富士康提高效率并降低采购成本。
- 政府要修一条高速公路，向社会招标。不同的建筑公司（卖方）有不同的建设成本和效率，这是他们的私人信息。政府（买方）需要设计一套招标和合同机制，来选出合适的公司并激励它努力工作。
核心思想是：买方（委托人，Principal）希望从卖方（代理人，Agent）购买商品，但无法获知卖方的真实生产成本。卖方的成本为其私人信息（private information）。买方需设计一种机制，使不同成本类型的卖方“自我选择”对其最优的合同，从而最大化买方自身的收益。
第一部分：模型设定 (Setup)
我们考虑一个由买方 B（Buyer）和卖方 S（Seller）组成的模型。
- 参与人: 买方 B，卖方 S。
- 商品: 生产 $x$ 单位的商品。
- 价值与成本:
- 买方从 $x$ 单位商品中获得的价值为 $v(x)$。
- 卖方生产 $x$ 单位商品的成本为 $c(x, \theta)$，其中 $\theta$ 为卖方的类型（type），代表其效率水平。$\theta$ 为卖方的私人信息。
- 支付: 买方向卖方支付 $t$。
- 效用函数 (Payoffs):
- 买方效用: $u_B(x, t) = v(x) - t$
- 卖方效用: $u_S(x, t, \theta) = t - c(x, \theta)$
- 基本假设:
- 价值函数：$v'(x) > 0$, $v''(x) \leq 0$, $v(0) = 0$（价值单调递增，边际价值非递增）。
- 成本函数：$c_x(x, \theta) > 0$（边际成本为正），$c(0, \theta) = 0$。
- 关键假设 (Spence-Mirrlees Condition): $c_{x\theta}(x, \theta) < 0$。该单调性条件意味着，类型 $\theta$ 越高，边际成本 $c_x(x, \theta)$ 越低，即高类型对应高效率/低成本。
Single-crossing condition:
简而言之，就是两种类型的无差异曲线在 $(x, t)$ 坐标轴上只交叉一次。
第二部分：双类型离散模型 (Two-Type Discrete Model)
为简化分析，首先考虑卖方仅有两种类型的情形。
- 类型: 卖方类型为 $\theta_1$（低效率/高成本）或 $\theta_2$（高效率/低成本），且 $\theta_1 < \theta_2$。根据 $c_{x\theta} < 0$，有 $c'_1(x) > c'_2(x)$。
- 概率: 类型 $\theta_1$ 的概率为 $p$，类型 $\theta_2$ 的概率为 $1-p$。
- 机制设计: 根据显示原理 (revelation principle)，买方（委托人）可设计一个菜单，包含两份合同 $(x_1, t_1)$ 和 $(x_2, t_2)$，以诱导 $\theta_1$ 型卖方选择合同1，$\theta_2$ 型卖方选择合同2。
买方的最优化问题:
买方选择 $(x_1, t_1, x_2, t_2)$ 以最大化其期望效用： $$ \max_{(x_1, t_1), (x_2, t_2)} p \left[ v(x_1) - t_1 \right] + (1-p) \left[ v(x_2) - t_2 \right] $$ 有以下约束：
-
激励相容约束 (Incentive Compatibility, IC):
- (IC1): $\theta_1$ 型选择 $(x_1, t_1)$ 的收益不低于选择 $(x_2, t_2)$：$t_1 - c(x_1, \theta_1) \geq t_2 - c(x_2, \theta_1)$
- (IC2): $\theta_2$ 型选择 $(x_2, t_2)$ 的收益不低于选择 $(x_1, t_1)$：$t_2 - c(x_2, \theta_2) \geq t_1 - c(x_1, \theta_2)$
-
参与约束 (Individual Rationality, IR)（假设外部选项收益为0）:
- (IR1): $\theta_1$ 型参与收益非负：$t_1 - c(x_1, \theta_1) \geq 0$
- (IR2): $\theta_2$ 型参与收益非负：$t_2 - c(x_2, \theta_2) \geq 0$
约束分析 (Analysis of Constraints)
General intuition: in the optimal solution, low type’s IR constraint will bind but not his IC, and high type’s IC constraint will bind but not his IR.
-
(IR1) 低效率类型的参与约束 bind:
- 直觉：买方希望尽量减少支付。若 $t_1 - c(x_1, \theta_1) > 0$，买方可同时降低 $t_1$ 和 $t_2$（以维持IC2），在不违反约束的情况下增加自身收益。因此，最优时必有 $t_1 - c(x_1, \theta_1) = 0$，即低效率类型获得零收益。
-
(IR2) 高效率类型的参与约束松弛 (slack):
- 由于 $\theta_2$ 型的成本较低（$c(x, \theta_2) < c(x, \theta_1)$ 对于 $x > 0$），其可通过模仿 $\theta_1$ 型获得正收益： $$ t_2 - c(x_2, \theta_2) \geq t_1 - c(x_1, \theta_2) > t_1 - c(x_1, \theta_1) = 0 $$
- 因此，只要低效率类型愿意参与，高效率类型必然参与。
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(IC2) 高效率类型的激励约束紧束:
- 直觉：买方需防止高效率类型（低成本）冒充低效率类型（高成本）以获取更高支付。为此，买方必须给予高效率类型足够激励，使其不倾向于模仿低效率类型。若此约束松弛，表明 $t_2$ 过高，买方可降低 $t_2$ 而不影响 $\theta_2$ 的选择，从而增加收益。因此，最优时有 $t_2 - c(x_2, \theta_2) = t_1 - c(x_1, \theta_2)$。
-
(IC1) 低效率类型的激励约束松弛:
- 由于高效率类型在两份合同间无差异（IC2紧束），而低效率类型的边际成本较高，$\theta_1$ 型严格偏好合同 $(x_1, t_1)$。
求解与结果
基于约束分析，问题得以简化。利用紧束约束表示支付 $t_1$ 和 $t_2$：
- 从 (IR1) 紧束：$t_1 = c(x_1, \theta_1)$
- 从 (IC2) 紧束：$t_2 = t_1 - c(x_1, \theta_2) + c(x_2, \theta_2) = c(x_1, \theta_1) - c(x_1, \theta_2) + c(x_2, \theta_2)$
将 $t_1$ 和 $t_2$ 代入目标函数，问题简化为选择产量 $x_1$ 和 $x_2$： $$ \max_{x_1, x_2} p \left[ v(x_1) - c(x_1, \theta_1) \right] + (1-p) \left[ v(x_2) - \left( c(x_1, \theta_1) - c(x_1, \theta_2) + c(x_2, \theta_2) \right) \right] $$ 对 $x_1$ 和 $x_2$ 分别求一阶条件（FOC）：
-
对 $x_2$：$(1-p) \left[ v'(x_2) - c_x(x_2, \theta_2) \right] = 0 \implies v'(x_2) = c_x(x_2, \theta_2)$
- 结果1：顶端无扭曲 (No Distortion at the Top)：对于高效率类型 $\theta_2$，产量 $x_2$ 达到社会最优（first-best），即边际价值等于边际成本。
-
对 $x_1$：$p \left[ v'(x_1) - c_x(x_1, \theta_1) \right] - (1-p) \left[ c_x(x_1, \theta_1) - c_x(x_1, \theta_2) \right] = 0$ 整理得：$v'(x_1) = c_x(x_1, \theta_1) + \frac{1-p}{p} \left[ c_x(x_1, \theta_1) - c_x(x_1, \theta_2) \right]$
- 由于 $c_x(x, \theta_1) > c_x(x, \theta_2)$，右边第二项为正，意味着 $v'(x_1) > c_x(x_1, \theta_1)$。
- 结果2：低端向下扭曲 (Downward Distortion for the Low Type)：因 $v(x)$ 为凹函数，$v'(x_1) > c_x(x_1, \theta_1)$ 表明最优产量 $x_1^\ast$ 小于社会最优水平 $x_1^{FB}$（满足 $v'(x_1^{FB}) = c_x(x_1^{FB}, \theta_1)$）。
经济学直觉: 为减少支付给高效率类型 $\theta_2$ 的信息租金 (information rent)，即 $t_2 - c(x_2, \theta_2) = c(x_1, \theta_1) - c(x_1, \theta_2)$，买方选择降低低效率类型 $\theta_1$ 的产量 $x_1$。降低 $x_1$ 减少了合同1对 $\theta_2$ 的吸引力，从而降低买方为激励 $\theta_2$ 所需支付的租金。这是效率（使 $\theta_1$ 生产社会最优产量）与租金抽取（减少付给 $\theta_2$ 的租金）之间的权衡。
第三部分：虚拟成本函数 (Virtual Cost Function)
我们可通过虚拟成本函数 (Virtual Cost Function) 更简洁地理解对 $x_1$ 的扭曲。对于类型 $\theta_1$，其虚拟边际成本定义为： $$ \tilde{c}_x(x_1, \theta_1) = c_x(x_1, \theta_1) + \frac{1-p}{p} \left[ c_x(x_1, \theta_1) - c_x(x_1, \theta_2) \right] $$ 该虚拟成本不仅包含 $\theta_1$ 的真实边际成本，还包括因增加 $x_1$ 而导致需支付给 $\theta_2$ 的额外信息租金的边际成本。因此，选择 $x_1$ 的一阶条件可表达为边际价值等于虚拟边际成本：$v'(x_1) = \tilde{c}_x(x_1, \theta_1)$。
第四部分：连续类型模型 (Continuous Case)
现将模型推广至类型 $\theta$ 在区间 $[0, 1]$ 上连续分布的情形。
- 类型分布: $\theta \in [0, 1]$，服从累积分布函数 $F(\theta)$，密度函数为 $f(\theta)$。
- 委托人问题:
$$
\max_{x(\cdot), t(\cdot)} \int_0^1 \left[ v(x(\theta)) - t(\theta) \right] f(\theta) \mathrm{d}\theta
$$
受以下约束：
- 激励相容 (IC): $t(\theta) - c(x(\theta), \theta) \geq t(\hat{\theta}) - c(x(\hat{\theta}), \theta), \quad \forall \theta, \hat{\theta}$
- 参与约束 (IR): $t(\theta) - c(x(\theta), \theta) \geq 0, \quad \forall \theta$
利用包络定理简化
定义代理人的均衡效用（信息租金）为 $V(\theta) = t(\theta) - c(x(\theta), \theta)$。IC条件意味着 $V(\theta) = \max_{\hat{\theta}} \left\{ t(\hat{\theta}) - c(x(\hat{\theta}), \theta) \right\}$。根据包络定理 (Envelope Theorem)，对 $V(\theta)$ 求导： $$ V'(\theta) = \left. \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ t(\hat{\theta}) - c(x(\hat{\theta}), \theta) \right] \right|_{\hat{\theta}=\theta} = -c_\theta(x(\theta), \theta) $$ 因 $c_\theta(x, \theta) < 0$（高类型成本较低），故 $V'(\theta) > 0$，即更高效率类型获得更高信息租金。
类似离散情形，最低效率类型（$\theta=0$）的参与约束紧束，即 $V(0) = 0$。通过积分，任意类型 $\theta$ 的信息租金为： $$ V(\theta) = V(0) + \int_0^\theta V'(\tilde{\theta}) \mathrm{d}\tilde{\theta} = \int_0^\theta -c_\theta(x(\tilde{\theta}), \tilde{\theta}) \mathrm{d}\tilde{\theta} $$ 因此，支付函数为：$t(\theta) = c(x(\theta), \theta) + V(\theta)$。
求解
将 $t(\theta)$ 代入目标函数，并通过分部积分简化，委托人问题转化为逐点最大化： $$ \max_{x(\cdot)} \int_0^1 \left[ v(x(\theta)) - \left( c(x(\theta), \theta) - \frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} c_\theta(x(\theta), \theta) \right) \right] f(\theta) \mathrm{d}\theta $$ 其中，括号内为连续情形下的虚拟成本： $$ \tilde{c}(x, \theta) = c(x, \theta) - \frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} c_\theta(x, \theta) $$ （注：因 $-c_\theta > 0$，虚拟成本高于真实成本）。$\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)}$ 为逆风险率 (inverse hazard rate)。
对每个 $\theta$ 逐点最大化，得到一阶条件： $$ v'(x(\theta)) = c_x(x(\theta), \theta) - \frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} c_{x\theta}(x(\theta), \theta) $$ 结果分析:
- 顶端无扭曲: 对于最高效率类型 $\theta=1$，因 $1-F(1)=0$，上式简化为 $v'(x(1)) = c_x(x(1), 1)$，产量达到社会最优。
- 其他类型向下扭曲: 对于 $\theta < 1$，因 $\frac{1-F(\theta)}{f(\theta)} > 0$ 且 $c_{x\theta} < 0$，右边第二项为正，导致 $v'(x(\theta)) > c_x(x(\theta), \theta)$，表明产量 $x(\theta)$ 低于社会最优水平。
关于单调性的问题 (Bunching/Ironing)
由IC条件可知，最优产量 $x(\theta)$ 需关于 $\theta$ 非递减。若一阶条件解出的 $x(\theta)$ 在某区间内递减，则最优合约将在该区间提供相同产量，即发生捆绑 (bunching or pooling)，将递减部分“拉平”。
总结 (Conclusion)
- 核心权衡: 在信息不对称的筛选模型中，委托人需在效率与租金抽取之间权衡。
- 关键结果: 为减少支付给高效率类型的信息租金，委托人通常压低低效率类型的产量，导致：
- 顶端无扭曲 (No Distortion at the Top)
- 其他类型向下扭曲 (Downward Distortion for Others)
- 分析工具: 虚拟成本函数将信息租金成本内化至代理人成本函数，使问题简化为在虚拟成本下的效率最大化。
这些结论在契约理论、规制经济学、拍卖理论等领域具有广泛应用。