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高级宏观经济学学习笔记：新古典增长模型

第一部分：引言与基本事实 (Introduction)

宏观经济学的核心问题之一是：为什么有些国家如此富有，而另一些国家却如此贫穷？ 为了回答这个问题，我们需要理论模型和经验数据的结合。

1. 经验事实 (Empirical Facts):

• 收入差距巨大且在扩大：全球范围内的国家间收入不平等在1960年至2000年间有所增加。例如，美国的人均GDP可能是尼日利亚的30倍。
• GDP与福利高度相关：虽然GDP不完全等同于国民福利，但它是一个强有力的预测指标。通常，更富有的国家拥有更高的平均寿命、更好的教育和医疗条件。
• 增长路径的差异：收入差距并非自古以来就存在。美国和英国等国自19世纪初以来经历了持续稳定的增长，而其他国家（如中国、印度）则在较晚时期才开始追赶。

2. 增长的驱动因素 (Reasons for Growth):

• 直接原因 (Proximate Reasons)：指直接影响产出的因素，如更多的资本存量、更高的人力资本水平、更好的基础设施以及更高的投资率。这些是经济增长的“机制”。
• 根本原因 (Fundamental Reasons)：解释了为什么不同国家在直接原因上存在差异的深层因素，包括地理、制度、文化和历史。

本课程的重点是理解增长的“机制”，即直接原因，我们将通过几个核心的增长模型来探讨。

第二部分：索洛增长模型 (The Solow Growth Model)

索洛模型是新古典增长理论的基石。它试图解释资本积累（Capital Accumulation）如何驱动经济增长。

1. 模型的基本假设:

• 经济体只生产一种同质产品，既可用于消费，也可用于投资。
• 封闭经济 (Closed Economy)，不存在国际贸易和资本流动。
• 外生的储蓄率 (Exogenous Saving Rate)：人们将其收入的一个固定比例 $ s $ 用于储蓄，模型不解释储蓄行为本身。
• 人口以一个外生的固定速率 $ n $ 增长。
• 技术水平以一个外生的固定速率增长（为简化起见，我们先假设技术水平固定）。

2. 模型的两个核心方程:

(a) 生产函数 (Production Function)

描述投入（资本 $ K $ 和劳动 $ L $）如何转化为产出（$ Y $）： $$ Y_t = F(K_t, L_t) $$

该函数具有三个重要性质：

1. 规模报酬不变 (Constant Returns to Scale, CRS)：
   $$ F(\lambda K, \lambda L) = \lambda F(K, L) $$ 这意味着将所有投入增加一倍，产出也会增加一倍。

2. 边际报酬递减 (Diminishing Marginal Returns)：
   资本（$ F_K $）和劳动（$ F_L $）的边际产出为正，但随着投入增加而递减（$ F_{KK} < 0, F_{LL} < 0 $）。

3. 稻田条件 (Inada Conditions)：
   当资本趋近于0时，其边际产出趋近于无穷大；当资本趋近于无穷大时，其边际产出趋近于0。这保证了经济不会停止积累资本，也不会无限积累。

• 一个常用的例子是 柯布-道格拉斯 (Cobb-Douglas) 生产函数：
  $$ Y = K^\alpha L^{1-\alpha}, \quad \text{其中 } 0 < \alpha < 1 $$ 其中 $ \alpha $ 是资本的产出份额。

(b) 资本积累方程 (Capital Accumulation)

资本存量的变化（$ \dot{K}_t $）等于总投资（$ I_t $）减去资本折旧（$ \delta K_t $）： $$ \dot{K}_t = I_t - \delta K_t $$

在封闭经济中，投资等于储蓄（$ I_t = S_t $），而储蓄是产出的一个固定比例（$ S_t = sY_t $）。因此，我们得到： $$ \dot{K}_t = sF(K_t, L_t) - \delta K_t $$

3. 人均形式的模型 (Per Capita Terms)

为了分析人均产出和生活水平，我们将模型转换为人均形式。定义人均资本 $ k_t = K_t / L_t $，人均产出 $ y_t = Y_t / L_t $。

• 人均生产函数：
  $$ y_t = f(k_t) $$

• 人均资本积累的核心动态方程：
  $$ \dot{k}_t = s f(k_t) - (\delta + n) k_t $$ 其中，$ s f(k_t) $ 是人均投资，而 $ (\delta + n) k_t $ 是“持平投资”（Break-even Investment），即为了让每个工人拥有不变的资本存量所需的投资（一部分用于替换折旧的资本 $ \delta k_t $，一部分为新增人口配备资本 $ n k_t $）。

4. 稳态 (Steady State)

稳态是经济长期均衡的状态，此时人均资本 $ k $ 和人均产出 $ y $ 保持不变，即 $ \dot{k}_t = 0 $。

• 稳态的条件：
  $$ s f(k^\ast) = (\delta + n) k^\ast $$ 在图形上，它是储蓄曲线 $ s \cdot f(k) $ 和持平投资直线 $ (\delta + n) k $ 的交点。

• 稳定性：索洛模型的稳态是全局稳定的。无论初始人均资本是多少（$ k_0 > 0 $），经济最终都会收敛到稳态水平 $ k^\ast $。

  • 若 $ k < k^\ast $，则投资大于持平投资，$ k $ 增加。
  • 若 $ k > k^\ast $，则投资小于持平投资，$ k $ 减少。

5. 比较静态分析 (Comparative Statics)

• 储蓄率 ($ s $)：更高的储蓄率 ($ \uparrow s $) 会导致更高的稳态人均资本和产出 ($ \uparrow k^\ast, \uparrow y^\ast $)。
• 人口增长率 ($ n $)：更高的人口增长率 ($ \uparrow n $) 会稀释资本，导致更低的稳态人均资本和产出 ($ \downarrow k^\ast, \downarrow y^\ast $)。

结论：索洛模型认为，各国富裕程度的差异可由储蓄率、人口增长率等因素解释。但是，它无法解释长期持续的经济增长。在没有技术进步的情况下，由于资本的边际报酬递减，仅靠资本积累驱动的增长最终会停止。

6. 黄金律 (The Golden Rule)

索洛模型中的储蓄率是外生的，但我们可以问：是否存在一个“最优”的储蓄率，能够最大化稳态时的人均消费？

• 稳态消费：
  $$ c^\ast = y^\ast - s \cdot y^\ast = f(k^\ast) - (\delta + n) k^\ast $$

• 黄金律资本水平 ($ k_{\text{gold}}^\ast $)：最大化 $ c^\ast $ 的资本水平，其条件是：
  $$ f_k(k_{\text{gold}}^\ast) = n + \delta $$ 即资本的边际产出等于人口增长率与折旧率之和。

• 动态无效率 (Dynamic Inefficiency)：如果一个经济体的储蓄率过高，使得 $ k^\ast > k_{\text{gold}}^\ast $，那么它就处于动态无效率状态。此时，只需降低储蓄率，就可以在不牺牲未来消费的情况下，提高当前和未来的所有消费水平。

7. 过渡动态与趋同 (Transitional Dynamics and Convergence)

• 核心思想：经济增长发生在向稳态过渡的过程中。一个经济体离其稳态越远，其增长速度越快。

• 趋同假说 (Convergence Hypothesis)：

  • 绝对趋同 (Absolute Convergence)：所有国家无论初始条件如何，最终都会收敛到相同的人均收入水平。这要求所有国家有相同的 $ s, n, \delta $ 等参数，现实中不太可能。
  • 条件趋同 (Conditional Convergence)：具有相似结构特征（相同的 $ s, n, \delta $）的国家会收敛到相同的稳态。这意味着，在控制了这些因素后，初始人均收入较低的国家应该比初始人均收入较高的国家增长得更快。经验证据普遍支持条件趋同。

• 趋同速度 ($ \beta $)：模型预测经济体弥合其与稳态之间差距的速度。理论上，趋同速度由
  $$ \beta = (1 - \alpha)(n + \delta + \dots) $$ 决定。

  • 经验难题：根据标准的资本份额（$ \alpha \approx 1/3 $）校准出的理论趋同速度（半衰期约13年），比实证研究中观察到的速度（半衰期约35年）要快得多。
  • 可能的解释：Mankiw, Romer, Weil (1992) 提出，将人力资本也视为一种资本，可以使广义的资本份额（$ \alpha $）提高到0.75左右，从而大大降低理论预测的趋同速度，使其与经验证据更为吻合。

第三部分：AK模型 (The AK Model)

AK模型是内生增长理论 (Endogenous Growth Theory) 的一个简单形式，它对索洛模型的核心假设——资本边际报酬递减——提出了挑战。

1. 模型设定:

• 生产函数不存在报酬递减：
  $$ Y = A K $$ 其中 $ A $ 是一个正的常数，代表技术水平。这可以看作是索洛模型中资本份额 $ \alpha = 1 $ 的特例。

• 人均形式为：
  $$ y = A k $$

• 人均资本积累方程：
  $$ \dot{k}_t = s A k_t - (\delta + n) k_t = (s A - (\delta + n)) k_t $$

2. 核心结论:

• 长期增长：只要储蓄和技术水平足够高，使得 $ s A > n + \delta $，经济就可以实现持续的、内生的正增长。增长率 $ \gamma_k = s A - (n + \delta) $。
• 政策有效性：储蓄率 $ s $ 等行为参数和政策变量会影响长期增长率，而不仅仅是稳态水平。
• 无趋同：模型不预测国家间的趋同。富国和穷国可以以不同的速度永久增长。

AK模型为解释国家间持续的增长率差异提供了一个简单框架，但其“资本无报酬递减”的假设过于极端，后续的内生增长模型（如涉及人力资本外部性或研发的模型）为此提供了更丰富的微观基础。

第四部分：拉姆齐模型 (The Ramsey Model)

拉姆齐模型（或Ramsey-Cass-Koopmans模型）是新古典增长模型的另一个核心，它通过引入跨期效用最大化的家庭来内生化储蓄决策，从而克服了索洛模型中储蓄率外生的缺陷。

1. 模型设定:

• 行为主体：

  • 无限期存活的家庭 (Infinitely-lived Households)：代表一个王朝，关心后代福祉，通过跨期优化来决定消费和储蓄路径。
  • 利润最大化的厂商 (Profit-maximizing Firms)：与索洛模型类似，在竞争性市场中租用资本和劳动。

• 家庭的目标：
  最大化其终身贴现效用：
  $$ \max \int_0^\infty u(c_t) e^{-(\rho - n)t} \, dt $$ 其中，$ c_t $ 是人均消费，$ \rho $ 是时间偏好率（越 impatient，$ \rho $ 越大），$ n $ 是人口增长率。

• 家庭的预算约束：
  人均资产（$ a_t $）的变化等于资产回报减去消费：
  $$ \dot{a}_t = (r_t - n) a_t + w_t - c_t $$

2. 关键结果：欧拉方程 (Euler Equation)

通过求解家庭的最优化问题，我们得到描述最优消费路径的动态方程——欧拉方程： $$ \frac{\dot{c}_t}{c_t} = \frac{1}{\sigma}(r_t - \rho) $$

其中：

• $ \sigma = -\dfrac{u_{cc}(c) c}{u_c(c)} $ 是 跨期替代弹性 (Intertemporal Elasticity of Substitution, IES) 的倒数，衡量了消费的平滑偏好。$ \sigma $ 越大，家庭越不愿消费路径波动。
• $ r_t $ 是真实利率。
• $ \rho $ 是主观贴现率。

经济学直觉：

• 如果市场利率 $ r_t $ 高于家庭的主观贴现率 $ \rho $，推迟消费并储蓄是值得的，因此家庭会选择一个消费不断增长的路径（$ \dot{c}_t > 0 $）。
• 利率与贴现率的差距对消费增长的影响程度，取决于 $ \sigma $。$ \sigma $ 越大，家庭越厌恶消费波动，即使利率很高，他们也只会温和地增加消费增长。

3. 模型的动态系统与稳态

将家庭的欧拉方程与厂商的利润最大化条件（$ r_t = f_k(k_t) - \delta $）以及资源约束（资本积累方程）结合，可以得到一个关于人均资本（$ \hat{k} $）和人均消费（$ \hat{c} $）的二维动态系统。

• 稳态：在稳态中，$ \dot{\hat{k}} = 0 $ 且 $ \dot{\hat{c}} = 0 $。

• 修正的黄金律 (Modified Golden Rule)：从 $ \dot{\hat{c}} = 0 $ 可以推导出稳态的条件：
  $$ f_k(\hat{k}^\ast) = \delta + \rho + \sigma x $$ 其中 $ x $ 是技术进步率。

  直觉：稳态时，资本的净边际产出必须等于家庭的“有效贴现率”。这个贴现率包括了对未来的不耐烦（$ \rho $）和对消费增长的平滑渴望（$ \sigma x $）。

• 无动态无效率：在拉姆齐模型中，由于家庭进行最优决策，并且存在一个“横截性条件”（Transversality Condition, TVC）防止过度储蓄，经济永远不会处于动态无效率状态。稳态资本水平总是小于或等于黄金律水平。

4. 过渡动态：鞍点路径 (Saddle Path Stability)

拉姆齐模型的动态系统具有鞍点稳定性。对于任何给定的初始资本存量 $ \hat{k}_0 $，只存在唯一一个初始消费水平 $ \hat{c}_0 $，能够使经济恰好沿着稳定的“鞍点路径”收敛到长期稳态。

• 如果初始消费过高，资本会被过快消耗，最终归零。
• 如果初始消费过低，家庭会过度储蓄，违反横截性条件。

5. 储蓄率的动态:

在向稳态过渡的过程中，储蓄率的行为是不确定的。它取决于替代效应和收入效应的相对强弱。

• 替代效应：当经济体贫穷时（$ k $ 较低），资本回报率高，储蓄的吸引力大，倾向于多储蓄。
• 收入效应：当经济体贫穷时，人们更渴望立即消费，倾向于少储蓄。

校准结果表明，对于像美国这样的经济体，模型预测在接近稳态的过程中，储蓄率会下降。

第五部分：增长核算与发展核算 (Growth and Development Accounting)

这是一个经验性的框架，用于量化不同因素对经济增长和收入差异的贡献。

1. 增长核算 (Growth Accounting)

将一个国家一段时间内的产出增长率分解为生产要素（资本、劳动）增长和技术进步的贡献： $$ \gamma_Y = \gamma_A + \alpha \gamma_K + (1 - \alpha) \gamma_L $$

• $ \gamma_A $，即全要素生产率 (Total Factor Productivity, TFP) 的增长率，通常被称为“索洛剩余”。它是一个“残差项”，捕捉了所有不能由资本和劳动投入增长解释的产出增长。
• TFP的来源包括技术进步、效率改善、制度优化等。
• 早期研究发现TFP贡献了增长的70%，被称为“我们无知的量度”。在对劳动（如教育）和资本（如设备质量）的质量进行调整后，TFP的贡献下降到1/3至1/2，但仍然至关重要。

2. 发展核算 (Development Accounting)

将不同国家在某个时间点的人均收入差异分解为要素投入（人均资本、人力资本）差异和TFP差异： $$ \log Y_i = \log A_i + \alpha \log K_i + \dots $$

• 研究发现，TFP（$ A_i $）的差异解释了国家间人均收入差异的50%以上。
• 资源错配 (Resource Misallocation)，即资本和劳动力没有被配置到生产率最高的企业或部门，被认为是解释国家间TFP差异的一个重要原因。金融市场不发达、劳动力市场管制等都可能导致资源错配。

总结

• 索洛模型提供了一个基本的框架，说明了资本积累和技术进步在经济增长中的作用，并引出了重要的条件趋同假说。但其储蓄率外生的假设是一大缺陷。
• AK模型作为内生增长理论的开端，展示了在没有资本报酬递减的情况下，储蓄和政策如何影响长期增长率。
• 拉姆齐模型通过内生化储蓄决策，提供了更为完善的微观基础，其鞍点路径稳定性是现代宏观动态分析的核心工具。
• 增长/发展核算为我们提供了量化分析增长和收入差距来源的工具，并指出了TFP和资源配置效率的关键作用。