发表在 Bell Journal of Economics, 1979. DOI: https://doi.org/10.2307/3003320
Moral Hazard 的本质：
代理人行为 (effort) 不可观测且影响结果，就会产生道德风险，principal 无法将 agent 的 action 写进合同。当只能观察到最终产出时，合约设计只能是“次优”的 (second-best)，需要在风险分担和提供激励之间做出权衡。
Research Questions
- When can imperfect information about actions be used to improve on a contract which initially is based on the payoff alone?
- How should such additional information be used optimally?
在最基础的模型里，合同只能依据最终结果来制定，但是，如果有额外的信息，会怎么样呢？
Model Setup and Analysis
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代理人选择行动 $a$， 会产生负效用 $V(a)$
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最终产出 $x$ 是行动 $x$ 和随机状态 $\theta$ 的函数，$x = x(a, \theta)$。用一个以 $a$ 为条件的概率密度函数 $f(x, a)$ 来描述: $x(a, \theta) \sim F(x, a)$，假定分布函数满足 $F_a(x, a) < 0$ (shift the distribution of $x$ to the right in the sense of first-order stochastic dominance.)
比方说，$\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$ 是一个随机项，产出 $x=a+\epsilon$，由此我们可以获得条件分布 $x \mid a \sim N(a, \sigma^2)$
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合约 $s(x)$ 是代理人从产出 $x$ 中获得的分成；委托人获得 $x - s(x)$
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委托人效用函数 $G(\cdot)$，代理人效用函数 $U(\cdot) - V(a)$。双方都是风险厌恶的 ($G^{\prime\prime} \leqslant 0, U^{\prime\prime} < 0$)。
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在签订合约的时候，双方“对称”的知道各自的效用函数和 $x\mid a$ 的分布；由此，给定 $s(x)$，委托人可以预测代理人的行动，即使委托人观测不到。
委托人面临下列优化问题：
$$ \begin{align} \max_{s(x), a} & \; \int G(x-s(x)) f(x, a) \mathrm{d} x \\ \text { s.t. } & \int[U(s(x))-V(a)] f(x, a) \mathrm{d} x \geqslant \bar{H}, \tag{IR} \\ & \int U(s(x)) f_a(x, a) \mathrm{d} x = V^{\prime}(a) \tag{IC}. \end{align} $$ 其中 IC 约束为 $a \in \underset{a^\prime}{\arg\max} \; E[U(s(x))-V(a^\prime)].$
该优化问题的拉格朗日函数为： $$ \begin{aligned} \mathcal{L} & = \int G(x - s(x)) f(x,a) dx + \lambda \left[ \int (U(s(x)) - V(a)) f(x,a) dx - \bar{H} \right] \\ & \qquad + \mu \left[\int U(s(x)) f_a(x,a) - V^\prime (a) dx \right] \end{aligned} $$ 固定 $a$ 和乘子，对每个$x$ 优化 $s(x)$，关于 $s(x)$ 的一阶条件 (FOC) 为： $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial [s(x)]} = -G'(x - s(x)) f(x,a) + \lambda U'(s(x)) f(x,a) + \mu U'(s(x)) f_a(x,a) = 0 $$ 整理得： $$ \frac{G'(x - s(x))}{U'(s(x))} = \lambda + \mu \cdot \frac{f_a(x,a)}{f(x,a)} \tag{Optimal Sharing Rule} $$ 这个方程给出了 $s(x)$ 关于 $\lambda, \mu, a$ 的形式。
- 左边 $G^\prime/U^\prime$: 委托人和代理人的边际效用之比。如果二者都是风险中性的，那么 $\mu=0$
- 似然比 $f_a/f$ 衡量产出 $x$ 推断行动 $a$ 的统计强度
实际上，$\nabla _a \log f(x, a) = f_a(x, a)/f(x, a)$ 是 score function，它有一个很好的性质： $$ E[\nabla_a \log f(x, a)] = 0 $$ 假设努力 $a \in[0, \infty)$ ，产出 $x \sim N\left(a, \sigma^2\right)$ 。则：
$$ f(x \mid a)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-a)^2}{2 \sigma^2}}, \quad \frac{f_a(x, a)}{f(x, a)}=\frac{x-a}{\sigma^2} $$
Value of Information
假设除了 $x$，双方还能观察到一个额外信号 $y$ （如监督报告、天气状况、市场行情等），它可以提供关于 $a$ 的信息。现在薪酬可以是 $y$ 的函数 $s(x, y)$，用 $f(x, y, a)$ 表示概率密度。
额外的信号 $y$ 有价值，当且仅当不存在概率分布 $g, h \geqslant 0$ 使得 $$ f(x, y;a) = g(x, y) \cdot h(x, a) \qquad \text{ for almost every } x, y $$ 只有当这个分解式不成立时，$y$ 才包含了 $x$ 之外的关于 $a$ 的新信息，从而可以用来改进合约。
文章的命题3: 任何有价值的信息 $y$ 产生的 $s(x, y)$ 相比 $s(x)$ 都能有严格的帕累托改进。